Bihar Board 10th Maths Ex-1 Ultimate Notes Pdf -

Bihar Board 10th Maths Ex-1 Ultimate Notes pdf | Download Free Now

नमस्ते दोस्तों! क्या आप बिहार बोर्ड कक्षा 10 की परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं और गणित के पहले अध्याय “वास्तविक संख्याएं” (Real Numbers) को समझने में कठिनाई महसूस कर रहे हैं? तो अब चिंता की कोई बात नहीं! यहाँ हम आपके लिए लेकर आए हैं Bihar Board Class 10 Mathematics Chapter 1 – वास्तविक संख्याएं के बेहतरीन और संपूर्ण Free Notes PDF , जो आपकी परीक्षा की तैयारी को आसान और प्रभावी बनाएंगा।

इन नोट्स को विशेष रूप से बिहार बोर्ड के छात्रों की जरूरतों को ध्यान में रखकर नवीनतम पाठ्यक्रम पर तैयार किया गया है। इसमें अध्याय के सभी महत्वपूर्ण टॉपिक्स जैसे यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, और अपरिमेय संख्याएं को सरल और स्पष्ट भाषा में समझाया गया है ताकि हर छात्र आसानी से इन्हें याद कर सके।

अक्सर छात्र गाइड और किताबों के ढेर में उलझ जाते हैं, लेकिन स्मार्ट तैयारी का मतलब है सही और भरोसेमंद स्टडी मटेरियल चुनना है। यही कारण है कि हमारे Bihar Board 10th All Subject Ultimate Notes इतने लोकप्रिय हैं — ये न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं बल्कि पूरे सिलेबस को सरल भाषा में कवर करते हैं। हर विषय के महत्वपूर्ण बिंदु, वस्तुनिष्ठ प्रश्न, परिभाषाएँ और सूत्र एक ही स्थान पर दिए गए हैं, जिससे आपको परीक्षा के समय किताबें बार-बार पलटने की जरूरत नहीं पड़ेती।

सबसे अच्छी बात यह है कि ये सभी उच्च गुणवत्ता वाले Notes पूरी तरह मुफ्त (Free PDF) रूप में उपलब्ध हैं। इन नोट्स की मदद से आप समय बचाकर अधिक अभ्यास कर सकते हैं और परीक्षा में बेहतर अंक प्राप्त कर सकते हैं। हमारा उद्देश्य यही है कि हर छात्र बिना किसी शुल्क के गुणवत्तापूर्ण अध्ययन सामग्री प्राप्त करे और बिहार बोर्ड परीक्षा में सफलता की नई ऊँचाइयाँ हासिल करे।

मैं निकेत कुमार, आपको बिहार बोर्ड (BSEB) कक्षा 10 के गणित विषय के पहले अध्याय “वास्तविक संख्याएँ” (Real Numbers) के विस्तृत अध्ययन नोट्स pdf के रूप में प्रस्तुत कर रहा हूँ। ये नोट्स आपको अध्याय को गहराई से समझने और परीक्षा में बेहतर प्रदर्शन करने में मदद करेंगे। नीचे आपको बिहार बोर्ड कक्षा 10 के पहले अध्याय “वास्तविक संख्याएँ” का Notes दिया गया है।

Bihar Board 10th Maths Ex-1 Ultimate Note : वास्तविक संख्याएँ

परिचय

गणित में संख्याओं का महत्वपूर्ण स्थान है। हम दैनिक जीवन में विभिन्न प्रकार की संख्याओं का उपयोग करते हैं — पूर्णांक, भिन्न, दशमलव, ऋणात्मक मान आदि। इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) की व्याख्या, उनके प्रकार, और उनसे जुड़ी प्रमुख अवधारणाएँ जैसे यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, तथा अपरिमेय संख्याएँ पढ़ेंगे। यह अध्याय संख्या प्रणाली की गहरी समझ देगा।

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid’s Division Lemma)

परिभाषा: दो धनात्मक पूर्णांक a और b (b > 0) के लिए ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r मौजूद हैं कि:

a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

a = भाज्य (Dividend)
b = भाजक (Divisor)
q = भागफल (Quotient)
r = शेषफल (Remainder)

उदाहरण: a = 17, b = 5 → 17 = 5×3 + 2 (q = 3, r = 2; 0 ≤ 2 < 5)

उपयोग: यह प्रमेयिका HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने और विभाजन संबंधी हल करने में मूलभूत है।

2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम (Euclid’s Division Algorithm)

यह एल्गोरिथम दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का पुनरावर्तन है।

मान लीजिए c > d. पहले c = dq + r लिखिए, जहाँ 0 ≤ r < d।
यदि r = 0 तो HCF = d; अन्यथा अब d और r पर वही प्रक्रिया दोहराइए।
जब शेषफल 0 हो, अंतिम भाजक HCF होगा।

उदाहरण (420, 130):
420 = 130×3 + 30 → 130 = 30×4 + 10 → 30 = 10×3 + 0 ⇒ HCF = 10

3. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

प्रमेय: प्रत्येक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडों के रूप में एक अद्वितीय व्यंजक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह अभाज्य-गुणनखंडों के क्रम से स्वतंत्र रूप से अद्वितीय होता है।

उदाहरण: 12 = 2 × 2 × 3 = 2^2 × 3; 210 = 2×3×5×7

प्रयोग: HCF और LCM निकालने में यह प्रमेय आधार प्रदान करता है।

4. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM

विधि:

प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड लिखिए।
HCF = सभी साझा अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात का गुणनफल।
LCM = सभी उपस्थित अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात का गुणनफल।

सूत्र: HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b

उदाहरण (6 और 20):
6 = 2 × 3 = 2^1 × 3^1
20 = 2^2 × 5^1
HCF = 2^1 = 2; LCM = 2^2 × 3^1 × 5^1 = 60

5. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

परिभाषा: ऐसी संख्या जो p/q (p,q पूर्णांक, q ≠ 0) के रूप में व्यक्त न की जा सके — इन्हें अपरिमेय कहा जाता है। इनका दशमलव प्रसार अनवर्ती और अनंत (non-terminating non-repeating) होता है।

उदाहरण: √2, √3, √5, π, 0.101101110… आदि।

अपवाद सिद्ध करने की पद्धति (√2 का प्रमाण):
मान लीजिए √2 = a/b (a,b सह-अभाज्य), वर्ग करने पर 2b^2 = a^2 ⇒ a^2 सम है ⇒ a सम ⇒ a = 2c ⇒ b^2 = 2c^2 ⇒ b सम ⇒ a और b दोनों सम ⇒ यह सह-अभाज्य होने के विपरीत है। अतः √2 अपरिमेय है।

6. परिमेय संख्याएँ और उनका दशमलव प्रसार

थियोरम 1: यदि p/q का दशमलव सांत (terminating) है, तो हर q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 होंगे (q = 2^n × 5^m)।
थियोरम 2: यदि q में 2 या 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव प्रसार अनवर्ती होगा।

उदाहरण: 3/8 = 0.375 (terminating); 1/3 = 0.333… (repeating)

Formulas

यूक्लिड प्रमेय: a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
HCF × LCM = a × b (दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए)
परिमेय बनाम अपरिमेय: परिमेय = p/q (q ≠ 0); अपरिमेय ≠ p/q
दशमलव समाप्ति की शर्त: यदि हर (denominator) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 हों, तो दशमलव समाप्त होगा।

Practice Questions (प्रश्नावली)

उल्लिखित प्रमेयिका का उपयोग कर 168 और 64 का HCF निकालिए।
साक्ष्य दें कि √3 अपरिमेय है।
12 और 18 का LCM और HCF अभाज्य गुणनखंड विधि से ज्ञात कीजिए।
दिए गए दशमलव 0.6875 यह terminating है या repeating? इसे भिन्न के रूप में लिखिए।

Study Tips (अध्ययन सुझाव)

प्रत्येक प्रमेय के पीछे का लॉजिक समझें — रटे हुए प्रमाण से अधिक लाभ होता है।
अभाज्य गुणनखंड अभ्यास भारी-संख्या पर करके रखें।
HCF-LCM सम्बन्ध की जाँच के लिए HCF×LCM = a×b प्रयोग करें।
अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास विधि की अभ्यास करें (√2, √3 आदि)।

अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ का pdf

बिहार बोर्ड कक्षा 10 के अन्य अध्यायों के Notes pdf Download करें।

क्र. सं.	अध्याय का नाम
2	बहुपद
3	दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
4	द्विघात समीकरण
5	समांतर श्रेढ़ियाँ
6	त्रिभुज
7	निर्देशांक ज्यामिति
8	त्रिकोणमिति का परिचय
9	त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
10	वृत्त
11	रचनाएँ
12	वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल
13	पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
14	सांख्यिकी
15	प्रायिकता

Notes क्या होते हैं और क्यों आवश्यक होते हैं?

कई छात्रों के मन में यह सवाल आता है कि आखिर किसी विषय का Notes क्या होता है? चलिए इसे सरल शब्दों में समझते हैं। Notes किसी भी विषय का संक्षिप्त और आसान सारांश होते हैं — यानी ऐसे पन्ने या कॉपी जिनमें किसी अध्याय की मुख्य बातें, महत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण और अवधारणाएँ छोटे-छोटे बिंदुओं में लिखी जाती हैं। Notes की आवश्यकता यह होती है कि छात्र कम समय में पूरे विषय को दोहरा सकें और कठिन टॉपिक को आसानी से समझ सकें।

अनेक शिक्षकों के अनुसार, Notes एक ऐसा संक्षिप्त लेखन होता है जो पढ़ाई और परीक्षा दोनों के लिए सहायक होता है। अच्छे Notes की मदद से छात्रों को बार-बार पूरी किताब पढ़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती क्योंकि इनमें वही बातें शामिल होती हैं जो परीक्षा की दृष्टि से सबसे ज़्यादा जरूरी होती हैं।
जब छात्र स्वयं Notes तैयार करते हैं, तो वे केवल याद नहीं कर रहे होते बल्कि विषय को गहराई से समझ रहे होते हैं। इस प्रक्रिया से ज्ञान लंबे समय तक याद रहता है और आत्मविश्वास भी बढ़ता है।

Bihar Board Class 10 का हमारे Notes कैसे तैयार किए गए हैं?

हमारे द्वारा तैयार किए गए सभी विषयों के नोट्स Bihar Board मैट्रिक के नवीनतम सिलेबस पर आधारित है।
सभी विषयों के प्रत्येक अध्याय के Notes को सरल, स्पष्ट एवं आसान भाषा में तैयार किया गया है।
सभी Concepts को Example के साथ समझाया गया है जिससे सभी छात्र आसानी से समझ पाए।
प्रत्येक अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर (VVI Questions) और वस्तुनिष्ठ प्रश्न भी शामिल हैं।
विषयवस्तु को स्पष्ट चित्रों और उदाहरण के साथ समझाया गया गया है।

सारांश (Conclusion)

हम आशा हैं कि हमारे द्वारा तैयार किए गए Bihar Board 10th Maths Ex-1 Ultimate Notes आपके अध्ययन में मददगार सिद्ध होगा। यह Note न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं, बल्कि इस विषय की गहराई से समझ विकसित करने में भी मदद करता हैं। इस Note को सरल भाषा, स्पष्ट व्याख्या, महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर और उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किया गया है ताकि हर छात्र आत्मविश्वास के साथ परीक्षा की तैयारी कर सके।
यदि आप Bihar Board Class 10 के विद्यार्थी हैं, तो ये Notes आपके लिए एक complete study material की तरह काम करेंगे। अब आपको अलग-अलग किताबें खोजने की ज़रूरत नहीं — बस इन Free Notes को Download करें, पढ़ें और अपने लक्ष्य की ओर एक कदम और बढ़ाएँ।
BSEBsolution.in का यही उद्देश्य है कि हर छात्र को गुणवत्तापूर्ण अध्ययन सामग्री निःशुल्क प्राप्त हो।