Bihar Board 10th Maths Ex-10 Ultimate Notes pdf | Free Download करें और टॉप करें!
इन नोट्स को विशेष रूप से बिहार बोर्ड के छात्रों की जरूरतों को ध्यान में रखकर नवीनतम पाठ्यक्रम पर तैयार किया गया है। इसमें अध्याय के सभी महत्वपूर्ण टॉपिक्स जैसे वृत्त की परिभाषा और मूल बातें, केन्द्र (Center), त्रिज्या (Radius) और व्यास (Diameter), स्पर्शरेखा (Tangent) और सेकेन्ट (Secant), स्पंद (Chord), धनुष (Arc) और सेक्टर (Sector) के गुण तथा केंद्र से संबंधित कोणों और वृत्त की सम्बन्धित प्रमेयों (जैसे स्पर्शरेखा–त्रिज्या सम्बन्ध, समद्विभाजक चोरड सिद्धांत आदि) को सरल और स्पष्ट भाषा में समझाया गया है ताकि हर छात्र आसानी से इन अवधारणाओं को याद कर सके और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सके।
अक्सर छात्र गाइड और किताबों के ढेर में उलझ जाते हैं, लेकिन स्मार्ट तैयारी का मतलब है सही और भरोसेमंद स्टडी मटेरियल चुनना है। यही कारण है कि हमारे Bihar Board 10th All Subject Ultimate Notes इतने लोकप्रिय हैं — ये न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं बल्कि पूरे सिलेबस को सरल भाषा में कवर करते हैं। हर विषय के महत्वपूर्ण बिंदु, वस्तुनिष्ठ प्रश्न, परिभाषाएँ और सूत्र एक ही स्थान पर दिए गए हैं, जिससे आपको परीक्षा के समय किताबें बार-बार पलटने की जरूरत नहीं पड़ेती।
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Bihar Board 10th Maths Ex-10 Ultimate Note : वृत्त
1. भूमिका (Introduction)
वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जिसे आपने पिछली कक्षाओं में भी पढ़ा होगा। यह एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समूह होता है। इस अध्याय में, हम वृत्त और उससे संबंधित कुछ नई अवधारणाओं, जैसे स्पर्श रेखा (Tangent) और छेदक रेखा (Secant), तथा उनके गुणों और प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।
2. वृत्त से संबंधित महत्वपूर्ण पद (Important Terms Related to a Circle)
- वृत्त (Circle): एक तल के उन सभी बिंदुओं का समूह जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक अचर दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं, वृत्त कहलाता है।
- केंद्र (Centre): वृत्त के ठीक बीच में स्थित निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहते हैं, जिसे सामान्यतः ‘O’ से दर्शाया जाता है।
- त्रिज्या (Radius): केंद्र से वृत्त की परिधि तक की दूरी को त्रिज्या कहते हैं। इसे ‘r’ से दर्शाते हैं।
त्रिज्या (r) = व्यास (d) / 2 - व्यास (Diameter): वह रेखाखंड जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है और जिसके दोनों सिरे वृत्त की परिधि पर होते हैं। यह सबसे लंबी जीवा होती है।
व्यास (d) = 2 × त्रिज्या (r) - जीवा (Chord): वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है।
- परिधि (Circumference): वृत्त के चारों ओर की कुल दूरी को परिधि कहते हैं।
- चाप (Arc): वृत्त की परिधि का एक हिस्सा चाप कहलाता है।
- वृत्तखंड (Segment): एक जीवा और एक चाप के बीच घिरे क्षेत्र को वृत्तखंड कहते हैं।
- त्रिज्यखंड (Sector): दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरे क्षेत्र को त्रिज्यखंड कहते हैं।
3. छेदक रेखा और स्पर्श रेखा (Secant Line and Tangent Line)
- छेदक रेखा (Secant Line): एक ऐसी रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
- स्पर्श रेखा (Tangent Line): एक ऐसी रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। जिस बिंदु पर यह वृत्त को स्पर्श करती है उसे स्पर्श बिंदु (Point of Contact) कहा जाता है।
4. एक बिंदु से एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या
- वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से: कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
- वृत्त पर स्थित बिंदु से: केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
- वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से: दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
5. वृत्त की स्पर्श रेखा से संबंधित प्रमेय (Theorems Related to Tangents of a Circle)
प्रमेय 10.1: “वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।”
उपपत्ति का सारांश: यदि XY एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है और O उसका केंद्र है, तो OP ⊥ XY होगा। क्योंकि OP केंद्र से स्पर्श रेखा पर खींची गई सबसे छोटी दूरी है।
प्रमेय 10.2: “बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं।”
उपपत्ति का सारांश: यदि किसी बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR खींची जाती हैं, तो PQ = PR होगा, क्योंकि ΔPQO और ΔPRO सर्वांगसम होते हैं (RHS नियम से)।
6. सारांश (Summary)
इस अध्याय में हमने वृत्त की मूल परिभाषाओं, छेदक और स्पर्श रेखाओं की अवधारणाओं, एक बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या, और दो महत्वपूर्ण प्रमेयों — प्रमेय 10.1 एवं प्रमेय 10.2 — का अध्ययन किया। ये प्रमेय वृत्त से संबंधित प्रश्नों को हल करने में अत्यंत सहायक हैं।
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| क्र. सं. | अध्याय का नाम |
|---|---|
| 1 | वास्तविक संख्याएँ |
| 2 | बहुपद |
| 3 | दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म |
| 4 | द्विघात समीकरण |
| 5 | समांतर श्रेढ़ियाँ |
| 6 | त्रिभुज |
| 7 | निर्देशांक ज्यामिति |
| 8 | त्रिकोणमिति का परिचय |
| 9 | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग |
| 11 | रचनाएँ |
| 12 | वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल |
| 13 | पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन |
| 14 | सांख्यिकी |
| 15 | प्रायिकता |
Notes क्या होते हैं और क्यों आवश्यक होते हैं?
कई छात्रों के मन में यह सवाल आता है कि आखिर किसी विषय का Notes क्या होता है? चलिए इसे सरल शब्दों में समझते हैं।
Notes किसी भी विषय का संक्षिप्त और आसान सारांश होते हैं — यानी ऐसे पन्ने या कॉपी जिनमें किसी अध्याय की मुख्य बातें, महत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण और अवधारणाएँ छोटे-छोटे बिंदुओं में लिखी जाती हैं। Notes की आवश्यकता यह होती है कि छात्र कम समय में पूरे विषय को दोहरा सकें और कठिन टॉपिक को आसानी से समझ सकें।
अनेक शिक्षकों के अनुसार, Notes एक ऐसा संक्षिप्त लेखन होता है जो पढ़ाई और परीक्षा दोनों के लिए सहायक होता है। अच्छे Notes की मदद से छात्रों को बार-बार पूरी किताब पढ़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती क्योंकि इनमें वही बातें शामिल होती हैं जो परीक्षा की दृष्टि से सबसे ज़्यादा जरूरी होती हैं।
जब छात्र स्वयं Notes तैयार करते हैं, तो वे केवल याद नहीं कर रहे होते बल्कि विषय को गहराई से समझ रहे होते हैं। इस प्रक्रिया से ज्ञान लंबे समय तक याद रहता है और आत्मविश्वास भी बढ़ता है।
Bihar Board Class 10 का हमारे Notes कैसे तैयार किए गए हैं?
- हमारे द्वारा तैयार किए गए सभी विषयों के नोट्स Bihar Board मैट्रिक के नवीनतम सिलेबस पर आधारित है।
- सभी विषयों के प्रत्येक अध्याय के Notes को सरल, स्पष्ट एवं आसान भाषा में तैयार किया गया है।
- सभी Concepts को Example के साथ समझाया गया है जिससे सभी छात्र आसानी से समझ पाए।
- प्रत्येक अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर (VVI Questions) और वस्तुनिष्ठ प्रश्न भी शामिल हैं।
- विषयवस्तु को स्पष्ट चित्रों और उदाहरण के साथ समझाया गया गया है।
सारांश (Conclusion)
हम आशा हैं कि हमारे द्वारा तैयार किए गए Bihar Board 10th Maths Ex-10 Ultimate Notes pdf आपके अध्ययन में मददगार सिद्ध होगा। यह Note न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं, बल्कि इस विषय की गहराई से समझ विकसित करने में भी मदद करता हैं। इस Note को सरल भाषा, स्पष्ट व्याख्या, महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर और उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किया गया है ताकि हर छात्र आत्मविश्वास के साथ परीक्षा की तैयारी कर सके।
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