1. प्रायिकता का परिचय (Introduction to Probability)

हमारे दैनिक जीवन में ऐसी कई स्थितियाँ आती हैं जहाँ हम किसी घटना के होने या न होने की “संभावना” व्यक्त करते हैं। उदाहरण के लिए, “आज बारिश हो सकती है”, “शायद भारत मैच जीत जाए”, “हो सकता है कल छुट्टी हो”। इन वाक्यों में ‘संभावना’, ‘शायद’, ‘हो सकता है’ जैसे शब्द अनिश्चितता को दर्शाते हैं। गणित की वह शाखा जो इन घटनाओं के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक मान ज्ञात करती है, प्रायिकता (Probability) कहलाती है।

सरल शब्दों में, प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का एक संख्यात्मक माप है।

2. प्रायिकता से संबंधित महत्वपूर्ण पद (Important Terms Related to Probability)

• यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment): ऐसा प्रयोग जिसमें सभी संभावित परिणाम ज्ञात होते हैं, परंतु किसी विशेष परिणाम का निश्चित अनुमान नहीं लगाया जा सकता। जैसे, सिक्का उछालना या पासा फेंकना।
• परिणाम (Outcome): किसी यादृच्छिक प्रयोग का संभावित निष्कर्ष। उदाहरण: सिक्का उछालने पर ‘चित्त’ (H) या ‘पट’ (T)।
• प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space): सभी संभावित परिणामों का समुच्चय। जैसे, पासा फेंकने पर S = {1,2,3,4,5,6}।
• घटना (Event): प्रतिदर्श समष्टि का कोई उपसमुच्चय। उदाहरण: सम संख्या आने की घटना E = {2,4,6}।
• प्रारंभिक घटना (Elementary Event): जिसमें केवल एक परिणाम होता है।
• मिश्र घटना (Compound Event): जिसमें एक से अधिक परिणाम शामिल हों।
• निश्चित घटना (Sure Event): जो हमेशा घटित होती है, जिसकी प्रायिकता 1 होती है।
• असंभव घटना (Impossible Event): जो कभी घटित नहीं हो सकती, जिसकी प्रायिकता 0 होती है।
• पूरक घटनाएँ (Complementary Events): यदि घटना E घटित नहीं होती, तो उसे Ē कहते हैं। P(E) + P(Ē) = 1।

3. प्रायिकता का सूत्र (Formula for Probability)

किसी घटना ‘E’ की प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र है:

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) ÷ (कुल संभावित परिणामों की संख्या)

यहाँ अनुकूल परिणाम वे होते हैं जो हमारी इच्छित घटना के पक्ष में हों।

4. प्रायिकता के गुणधर्म (Properties of Probability)

• किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है (0 ≤ P(E) ≤ 1)।
• निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
• असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
• घटना E और उसकी पूरक घटना Ē की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

5. विभिन्न प्रकार की समस्याओं में प्रायिकता (Probability in Different Types of Problems)

(a) सिक्का उछालना (Coin Toss)

एक सिक्का उछालने पर: कुल परिणाम = {H, T} → P(H) = 1/2, P(T) = 1/2।

दो सिक्के उछालने पर: परिणाम = {HH, HT, TH, TT}
P(दोनों चित्त) = 1/4, P(एक चित्त) = 1/2, P(कोई चित्त नहीं) = 1/4।

(b) पासा फेंकना (Dice Roll)

परिणाम = {1,2,3,4,5,6}
P(सम संख्या) = 3/6 = 1/2
P(विषम संख्या) = 1/2
P(अभाज्य संख्या) = 1/2
P(4 आने की) = 1/6

(c) ताश के पत्तों पर आधारित प्रश्न

52 पत्तों की गड्डी में 4 सूट (13-13 पत्ते) होते हैं।
कुल फेस कार्ड = 12, लाल पत्ते = 26, काले पत्ते = 26।

• P(लाल बादशाह) = 2/52 = 1/26
• P(फेस कार्ड) = 12/52 = 3/13
• P(लाल फेस कार्ड) = 6/52 = 3/26

(d) थैले में गेंदों पर आधारित प्रश्न

एक थैले में 3 लाल, 5 नीली, 2 पीली गेंदें हैं। कुल = 10।
P(लाल) = 3/10, P(नीली) = 1/2, P(पीली) = 1/5, P(पीली नहीं) = 4/5।

6. याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points to Remember)

• प्रायिकता का मान कभी 1 से अधिक या 0 से कम नहीं होता।
• सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
• “और” (AND) का अर्थ गुणा तथा “या” (OR) का अर्थ जोड़ होता है।