परिचय (Introduction)

गणित में, बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक होता है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं, जहाँ प्रत्येक पद में चर (variable) की घात (power) एक पूर्ण संख्या होती है और गुणांक (coefficients) वास्तविक संख्याएँ होती हैं। सरल शब्दों में, बहुपद वे गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें चर, गुणांक और घातांक शामिल होते हैं, लेकिन चर पर केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक हो सकते हैं। बहुपद का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जाता है — जैसे गति, वित्तीय वृद्धि या इंजीनियरिंग संरचनाओं में।

1. बहुपद क्या है? (What is a Polynomial?)

एक बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जिसमें चर की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या (0, 1, 2, 3, …) होती है।

उदाहरण: 2x + 5, 3y² – 4y + 7, x³ – 2x² + x – 1

• चर (Variable): x, y, z आदि।
• गुणांक (Coefficient): चर के साथ गुणा की गई संख्याएँ (जैसे 2x में 2)।
• घात (Power): चर की शक्ति (जैसे x² में 2)।
• पद (Term): जोड़ या घटाव से अलग भाग (जैसे 3x² – 4x + 7 में तीन पद)।
• स्थिरांक (Constant): जिसमें कोई चर नहीं होता (जैसे 7)।

2. बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)

किसी बहुपद की घात उसके सबसे बड़े घात वाले पद की घात होती है।

उदाहरण:
5x + 3 → घात 1
4x² – 2x + 7 → घात 2
6x³ – 5x² + x – 9 → घात 3

गैर-शून्य स्थिरांक बहुपद की घात 0 होती है जबकि शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित।

3. बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)

घात के आधार पर:

• रैखिक (Linear): ax + b (उदा. 2x + 3)
• द्विघात (Quadratic): ax² + bx + c (उदा. x² – 5x + 6)
• त्रिघात (Cubic): ax³ + bx² + cx + d (उदा. x³ – 4x² + x – 2)

पदों की संख्या के आधार पर:

• एकपदी (Monomial): 5x
• द्विपदी (Binomial): 2x + 3
• त्रिपदी (Trinomial): x² – 5x + 6

4. बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial)

बहुपद p(x) के शून्यक वे मान होते हैं जिनके लिए p(x) = 0 हो जाता है।

• रैखिक बहुपद: p(x) = ax + b ⇒ x = -b/a
• द्विघात बहुपद: अधिकतम 2 शून्यक (factorization या formula द्वारा)
• त्रिघात बहुपद: अधिकतम 3 शून्यक

5. शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध

रैखिक बहुपद: p(x) = ax + b → शून्यक = -b/a

द्विघात बहुपद:
p(x) = ax² + bx + c
यदि शून्यक α, β हैं:
α + β = -b/a
αβ = c/a

त्रिघात बहुपद:
p(x) = ax³ + bx² + cx + d
यदि शून्यक α, β, γ हैं:
α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a

6. बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm)

यदि p(x) और g(x) दो बहुपद हैं, जहाँ g(x) ≠ 0, तो ऐसे q(x) और r(x) मिलते हैं कि:

p(x) = g(x) × q(x) + r(x), जहाँ r(x) = 0 या उसकी घात < g(x) की घात।

Quick Formulas & Summary

• रैखिक: p(x) = ax + b → शून्यक = -b/a
• द्विघात: α + β = -b/a, αβ = c/a
• त्रिघात: α + β + γ = -b/a; αβγ = -d/a
• विभाजन एल्गोरिथ्म : p(x) = g(x)q(x) + r(x)