Bihar Board 10th Maths Ex-3 Ultimate Notes pdf | Free Download करें और अपनी परीक्षा की तैयारी को बेहतर बनाएं !
इन नोट्स को विशेष रूप से बिहार बोर्ड के छात्रों की जरूरतों को ध्यान में रखकर नवीनतम पाठ्यक्रम पर तैयार किया गया है। इसमें अध्याय के सभी महत्वपूर्ण टॉपिक्स जैसे बहुपद की परिभाषा और मूल बातें, बहुपद के प्रकार, बहुपद की घात, बहुपद के शून्यक, शून्यकों और गुणांकों में संबंध और बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म को सरल और स्पष्ट भाषा में समझाया गया है ताकि हर छात्र आसानी से इन्हें याद कर सके।
अक्सर छात्र गाइड और किताबों के ढेर में उलझ जाते हैं, लेकिन स्मार्ट तैयारी का मतलब है सही और भरोसेमंद स्टडी मटेरियल चुनना है। यही कारण है कि हमारे Bihar Board 10th All Subject Ultimate Notes इतने लोकप्रिय हैं — ये न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं बल्कि पूरे सिलेबस को सरल भाषा में कवर करते हैं। हर विषय के महत्वपूर्ण बिंदु, वस्तुनिष्ठ प्रश्न, परिभाषाएँ और सूत्र एक ही स्थान पर दिए गए हैं, जिससे आपको परीक्षा के समय किताबें बार-बार पलटने की जरूरत नहीं पड़ेती।
सबसे अच्छी बात यह है कि ये सभी उच्च गुणवत्ता वाले Notes पूरी तरह मुफ्त (Free PDF) रूप में उपलब्ध हैं। इन नोट्स की मदद से आप समय बचाकर अधिक अभ्यास कर सकते हैं और परीक्षा में बेहतर अंक प्राप्त कर सकते हैं। हमारा उद्देश्य यही है कि हर छात्र बिना किसी शुल्क के गुणवत्तापूर्ण अध्ययन सामग्री प्राप्त करे और बिहार बोर्ड परीक्षा में सफलता की नई ऊँचाइयाँ हासिल करे।
Bihar Board 10th Maths Ex-3 Ultimate Note : दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
1. अध्याय का परिचय (Introduction to the Chapter)
गणित में, समीकरण हमें विभिन्न समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं। पिछली कक्षाओं में, आपने एक चर वाले रैखिक समीकरणों के बारे में पढ़ा है, जैसे x + 5 = 10। इस अध्याय में, हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जिसका अर्थ है कि समीकरण में दो अज्ञात राशियाँ (जैसे x और y) होंगी। जब ऐसे दो समीकरण एक साथ दिए जाते हैं, तो उन्हें “दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म” कहा जाता है। हम सीखेंगे कि इन समीकरणों को कैसे हल किया जाए और उनके विभिन्न प्रकार के हल क्या होते हैं।
2. रैखिक समीकरण (Linear Equation)
एक रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें चर (variables) की अधिकतम घात (power) 1 होती है। इसका मतलब है कि इसमें कोई भी चर वर्ग (x²), घन (y³), या किसी अन्य घात में नहीं होगा।
x + 7 = 12 (एक चर वाला रैखिक समीकरण)
2x + 3y = 5 (दो चर वाला रैखिक समीकरण)
3. दो चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equation in Two Variables)
एक समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a ≠ 0, b ≠ 0, उसे दो चर x और y में एक रैखिक समीकरण कहा जाता है।
- चर (Variables): x और y
- गुणांक (Coefficients): a (x का गुणांक), b (y का गुणांक)
- अचर पद (Constant Term): c
3x + 4y – 7 = 0
x – 2y = 5 (जिसे x – 2y – 5 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है)
4. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
जब हमें एक साथ दो रैखिक समीकरण दिए जाते हैं जिनमें एक ही दो चर होते हैं, तो उन्हें दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कहा जाता है।
सामान्य रूप (General Form):
2. a₂x + b₂y + c₂ = 0
जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, और a₁² + b₁² ≠ 0 तथा a₂² + b₂² ≠ 0।
5. रैखिक समीकरण युग्म के हल (Solutions of Pair of Linear Equations)
एक रैखिक समीकरण युग्म का हल x और y के ऐसे मान होते हैं जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करते हैं। इन्हें ज्ञात करने के लिए मुख्यतः दो विधियाँ हैं:
- 1. आलेखीय विधि (Graphical Method)
- 2. बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods)
5.1. आलेखीय विधि (Graphical Method)
इस विधि में, हम प्रत्येक रैखिक समीकरण का ग्राफ (आलेख) खींचते हैं। चूंकि एक रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है, हमें दो सीधी रेखाएँ मिलेंगी। इन रेखाओं की स्थिति के आधार पर हमें विभिन्न प्रकार के हल मिलते हैं:
- a) प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines): यदि दोनों रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर काटती हैं, तो समीकरण युग्म का अद्वितीय हल (Unique Solution) होता है। इस स्थिति में, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होता है। समीकरण युग्म संगत (Consistent) कहलाता है।
- b) समांतर रेखाएँ (Parallel Lines): यदि दोनों रेखाएँ एक दूसरे के समांतर होती हैं (कभी नहीं काटती हैं), तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं (No Solution) होता है। इस स्थिति में, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होता है। समीकरण युग्म असंगत (Inconsistent) कहलाता है।
- c) संपाती रेखाएँ (Coincident Lines): यदि दोनों रेखाएँ एक दूसरे पर संपाती होती हैं (यानी, एक रेखा दूसरी रेखा को पूरी तरह से ढक लेती है), तो समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely Many Solutions) होते हैं। इस स्थिति में, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होता है। समीकरण युग्म संगत और आश्रित (Consistent and Dependent) कहलाता है।
| क्रम | रेखाओं की स्थिति | a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ का अनुपात | हल की संख्या | संगतता |
|---|---|---|---|---|
| 1. | प्रतिच्छेदी रेखाएँ | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | अद्वितीय हल | संगत |
| 2. | समांतर रेखाएँ | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | कोई हल नहीं | असंगत |
| 3. | संपाती रेखाएँ | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | अपरिमित रूप से अनेक हल | संगत और आश्रित |
5.2. बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods)
इन विधियों का उपयोग समीकरण युग्मों को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के लिए किया जाता है।
a) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
इस विधि में, हम एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त करते हैं, और फिर इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित (substitute) करते हैं।
चरण:
- किसी एक समीकरण से, x को y के पदों में या y को x के पदों में व्यक्त कीजिए।
- इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए। अब आपके पास एक चर वाला रैखिक समीकरण होगा।
- इस एक चर वाले समीकरण को हल करके उस चर का मान ज्ञात कीजिए।
- इस प्राप्त मान को पहले वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।
समीकरण युग्म:
1. x + y = 14
2. x – y = 4
समीकरण (1) से: x = 14 – y
x के इस मान को समीकरण (2) में रखने पर:
(14 – y) – y = 4
14 – 2y = 4
-2y = -10
y = 5
y = 5 को x = 14 – y में रखने पर:
x = 14 – 5
x = 9
हल: x = 9, y = 5
b) विलोपन विधि (Elimination Method)
इस विधि में, हम एक चर के गुणांकों को बराबर करके उसे विलोपित (eliminate) करते हैं ताकि एक चर वाला समीकरण प्राप्त हो सके।
चरण:
- दोनों समीकरणों को उपयुक्त गैर-शून्य संख्याओं से गुणा करके किसी एक चर (x या y) के संख्यात्मक गुणांकों को बराबर कीजिए।
- गुणांकों के चिन्हों के आधार पर समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ ताकि एक चर विलोपित हो जाए।
- प्राप्त एक चर वाले समीकरण को हल करके उस चर का मान ज्ञात कीजिए।
- इस प्राप्त मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।
समीकरण युग्म:
1. 3x + 4y = 10
2. 2x – 2y = 2
y चर को विलोपित करने के लिए, समीकरण (2) को 2 से गुणा करें:
3x + 4y = 10 (समीकरण 1)
4x – 4y = 4 (समीकरण 2 को 2 से गुणा करने पर)
अब समीकरण (1) और संशोधित समीकरण (2) को जोड़ने पर:
(3x + 4y) + (4x – 4y) = 10 + 4
7x = 14
x = 2
x = 2 को समीकरण (1) में रखने पर:
3(2) + 4y = 10
6 + 4y = 10
4y = 4
y = 1
हल: x = 2, y = 1
c) वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)
यह विधि रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए एक सूत्र प्रदान करती है।
समीकरण युग्म:
1. a₁x + b₁y + c₁ = 0
2. a₂x + b₂y + c₂ = 0
सूत्र:
x / (b₁c₂ – b₂c₁) = y / (c₁a₂ – c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ – a₂b₁)
- यदि a₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0, तो अद्वितीय हल होगा।
- यदि a₁b₂ – a₂b₁ = 0, तो कोई हल नहीं या अनेक हल हो सकते हैं।
चरण:
- दिए गए समीकरणों को a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के रूप में लिखें।
- a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ के मानों की पहचान करें।
- वज्र-गुणन सूत्र का उपयोग करके x और y के मान ज्ञात करें।
समीकरण युग्म:
1. 2x + 3y = 7 ⇒ 2x + 3y – 7 = 0
2. 3x – 2y = 4 ⇒ 3x – 2y – 4 = 0
यहाँ, a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = 3, b₂ = -2, c₂ = -4
सूत्र का प्रयोग करने पर:
x / (b₁c₂ – b₂c₁) = y / (c₁a₂ – c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ – a₂b₁)
x / ((3)(-4) – (-2)(-7)) = y / ((-7)(3) – (-4)(2)) = 1 / ((2)(-2) – (3)(3))
x / (-12 – 14) = y / (-21 – (-8)) = 1 / (-4 – 9)
x / (-26) = y / (-13) = 1 / (-13)
अब,
x / (-26) = 1 / (-13) ⇒ x = 2
y / (-13) = 1 / (-13) ⇒ y = 1
हल: x = 2, y = 1
6. दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables)
कुछ समीकरण सीधे रैखिक रूप में नहीं होते हैं, लेकिन उन्हें उपयुक्त प्रतिस्थापन (substitution) द्वारा रैखिक समीकरण युग्म में बदला जा सकता है।
समीकरण युग्म:
1. 2/x + 3/y = 13
2. 5/x – 4/y = -2
ये समीकरण रैखिक नहीं हैं क्योंकि चर हर (denominator) में हैं।
मान लीजिए 1/x = p और 1/y = q
अब समीकरण बन जाएंगे:
1. 2p + 3q = 13
2. 5p – 4q = -2
ये p और q में रैखिक समीकरण युग्म हैं। इन्हें आप प्रतिस्थापन, विलोपन या वज्र-गुणन विधि से हल कर सकते हैं।
इन्हें हल करने पर आपको p और q के मान मिलेंगे।
मान लीजिए p = 2 और q = 3 (यह एक काल्पनिक हल है)।
तब,
1/x = p ⇒ 1/x = 2 ⇒ x = 1/2
1/y = q ⇒ 1/y = 3 ⇒ y = 1/3
बिहार बोर्ड कक्षा 10 के अन्य अध्यायों के Notes pdf Download करें।
| क्र. सं. | अध्याय का नाम |
|---|---|
| 1 | वास्तविक संख्याएँ |
| 2 | बहुपद |
| 4 | द्विघात समीकरण |
| 5 | समांतर श्रेढ़ियाँ |
| 6 | त्रिभुज |
| 7 | निर्देशांक ज्यामिति |
| 8 | त्रिकोणमिति का परिचय |
| 9 | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग |
| 10 | वृत्त |
| 11 | रचनाएँ |
| 12 | वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल |
| 13 | पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन |
| 14 | सांख्यिकी |
| 15 | प्रायिकता |
Notes क्या होते हैं और क्यों आवश्यक होते हैं?
कई छात्रों के मन में यह सवाल आता है कि आखिर किसी विषय का Notes क्या होता है? चलिए इसे सरल शब्दों में समझते हैं।
Notes किसी भी विषय का संक्षिप्त और आसान सारांश होते हैं — यानी ऐसे पन्ने या कॉपी जिनमें किसी अध्याय की मुख्य बातें, महत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण और अवधारणाएँ छोटे-छोटे बिंदुओं में लिखी जाती हैं। Notes की आवश्यकता यह होती है कि छात्र कम समय में पूरे विषय को दोहरा सकें और कठिन टॉपिक को आसानी से समझ सकें।
अनेक शिक्षकों के अनुसार, Notes एक ऐसा संक्षिप्त लेखन होता है जो पढ़ाई और परीक्षा दोनों के लिए सहायक होता है। अच्छे Notes की मदद से छात्रों को बार-बार पूरी किताब पढ़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती क्योंकि इनमें वही बातें शामिल होती हैं जो परीक्षा की दृष्टि से सबसे ज़्यादा जरूरी होती हैं।
जब छात्र स्वयं Notes तैयार करते हैं, तो वे केवल याद नहीं कर रहे होते बल्कि विषय को गहराई से समझ रहे होते हैं। इस प्रक्रिया से ज्ञान लंबे समय तक याद रहता है और आत्मविश्वास भी बढ़ता है।
Bihar Board Class 10 का हमारे Notes कैसे तैयार किए गए हैं?
- हमारे द्वारा तैयार किए गए सभी विषयों के नोट्स Bihar Board मैट्रिक के नवीनतम सिलेबस पर आधारित है।
- सभी विषयों के प्रत्येक अध्याय के Notes को सरल, स्पष्ट एवं आसान भाषा में तैयार किया गया है।
- सभी Concepts को Example के साथ समझाया गया है जिससे सभी छात्र आसानी से समझ पाए।
- प्रत्येक अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर (VVI Questions) और वस्तुनिष्ठ प्रश्न भी शामिल हैं।
- विषयवस्तु को स्पष्ट चित्रों और उदाहरण के साथ समझाया गया गया है।
सारांश (Conclusion)
हम आशा हैं कि हमारे द्वारा तैयार किए गए Bihar Board 10th Maths Ex-3 Ultimate Notes pdf आपके अध्ययन में मददगार सिद्ध होगा। यह Note न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं, बल्कि इस विषय की गहराई से समझ विकसित करने में भी मदद करता हैं। इस Note को सरल भाषा, स्पष्ट व्याख्या, महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर और उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किया गया है ताकि हर छात्र आत्मविश्वास के साथ परीक्षा की तैयारी कर सके।
यदि आप Bihar Board Class 10 के विद्यार्थी हैं, तो ये Notes आपके लिए एक complete study material की तरह काम करेंगे। अब आपको अलग-अलग किताबें खोजने की ज़रूरत नहीं — बस इन Free Notes को Download करें, पढ़ें और अपने लक्ष्य की ओर एक कदम और बढ़ाएँ।
BSEBsolution.in का यही उद्देश्य है कि हर छात्र को गुणवत्तापूर्ण अध्ययन सामग्री निःशुल्क प्राप्त हो।
