Bihar Board 10th Maths Ex-4 Ultimate Notes pdf | Free Download करें और टॉप करें!
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Bihar Board 10th Maths Ex-4 Ultimate Note : द्विघात समीकरण
1. परिचय (Introduction)
पिछली कक्षाओं में हमने एक चर वाले रैखिक समीकरणों जैसे ax + b = 0 के बारे में पढ़ा है। अब हम एक नए प्रकार के समीकरण का अध्ययन करेंगे जिसमें चर की अधिकतम घात 2 होती है। ऐसे समीकरणों को द्विघात समीकरण कहते हैं।
उदाहरण के लिए:
- 2x² + 3x – 5 = 0
- x² – 4 = 0
- 3y² + 2y = 0
द्विघात समीकरण का उपयोग कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में होता है, जैसे किसी वस्तु के प्रक्षेप्य गति का विश्लेषण करना या किसी आयताकार खेत के आयाम ज्ञात करना।
2. द्विघात समीकरण का मानक रूप (Standard Form of a Quadratic Equation)
एक चर x में एक द्विघात समीकरण का मानक रूप (या सामान्य रूप) है:
ax² + bx + c = 0
जहाँ:
- a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
- a ≠ 0 (क्योंकि यदि a = 0 हो जाए, तो समीकरण bx + c = 0 एक रैखिक समीकरण बन जाएगा)।
- x चर है।
उदाहरण:
- 2x² + 5x + 3 = 0 (यहाँ a = 2, b = 5, c = 3)
- x² – 7x = 0 (यहाँ a = 1, b = -7, c = 0)
- 4x² – 9 = 0 (यहाँ a = 4, b = 0, c = -9)
3. द्विघात समीकरण के मूल (Roots of a Quadratic Equation)
एक वास्तविक संख्या α (अल्फा) द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का एक मूल (या शून्यक) कहलाती है, यदि x = α समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात aα² + bα + c = 0 हो।
किसी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं। इन मूलों को समीकरण के हल भी कहते हैं।
समीकरण x² – 4 = 0 में,
यदि x = 2 रखें → 2² – 4 = 0 ⇒ मूल = 2
यदि x = -2 रखें → (-2)² – 4 = 0 ⇒ मूल = -2
4. गुणनखंडन विधि से द्विघात समीकरण को हल करना (Factorization Method)
इस विधि में, हम मध्य पद bx को इस प्रकार दो पदों में विभाजित करते हैं कि उनका गुणनफल ac के गुणनफल के बराबर हो और उनका योग b के बराबर हो। फिर हम समीकरण के गुणनखंड करते हैं और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करके मूल ज्ञात करते हैं।
चरण:
- दिए गए द्विघात समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखें।
- a और c का गुणनफल ac ज्ञात करें।
- b को दो संख्याओं p और q में इस प्रकार विभाजित करें कि p + q = b और p × q = ac हो।
- bx के स्थान पर px + qx लिखें।
- पहले दो और अंतिम दो पदों में से उभयनिष्ठ लेकर गुणनखंड करें।
- प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर x के मान ज्ञात करें।
6x² – x – 2 = 0
a = 6, b = -1, c = -2
ac = -12
⇒ -4 + 3 = -1 और -4 × 3 = -12
6x² – 4x + 3x – 2 = 0
2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
(3x – 2)(2x + 1) = 0
⇒ x = 2/3, -1/2
5. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Completing the Square Method)
इस विधि में, हम द्विघात समीकरण को (x ± k)² = d के रूप में बदलकर हल करते हैं।
चरण:
- समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखें।
- यदि a ≠ 1 है, तो पूरे समीकरण को a से भाग दें।
- अचर पद को दाहिनी ओर ले जाएँ।
- x के गुणांक के आधे का वर्ग (b/2a)² दोनों पक्षों में जोड़ें।
- अब बायाँ पक्ष (x + b/2a)² बन जाएगा।
- वर्गमूल लेकर x का मान ज्ञात करें।
2x² – 7x + 3 = 0
x² – (7/2)x + 3/2 = 0
x² – (7/2)x = -3/2
जोड़ें (-7/4)² = 49/16
(x – 7/4)² = 25/16
⇒ x – 7/4 = ±5/4
⇒ x = 3 या 1/2
6. द्विघाती सूत्र से हल करना (Quadratic Formula Method)
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों को ज्ञात करने के लिए सूत्र:
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
जहाँ D = b² – 4ac विविक्तकर (Discriminant) है।
2x² – 7x + 3 = 0
D = 49 – 24 = 25
x = [7 ± 5]/4
⇒ x = 3 या 1/2
7. मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)
विविक्तकर D = b² – 4ac के आधार पर मूलों की प्रकृति:
- D > 0 ⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल
- D = 0 ⇒ दो समान वास्तविक मूल
- D < 0 ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं (काल्पनिक मूल)
x² + 5x + 6 = 0 → D = 1 ⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल
x² – 4x + 4 = 0 → D = 0 ⇒ दो समान वास्तविक मूल
x² + x + 1 = 0 → D = -3 ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं
8. द्विघात समीकरण के अनुप्रयोग (Applications of Quadratic Equations)
वास्तविक जीवन की कई समस्याओं को द्विघात समीकरणों के रूप में व्यक्त और हल किया जा सकता है।
- संख्याओं पर आधारित समस्याएँ
- क्षेत्रफल और परिधि से संबंधित समस्याएँ
- गति, दूरी और समय से संबंधित समस्याएँ
- आयु से संबंधित समस्याएँ
क्षेत्रफल = 528 m², लंबाई = (2x + 1), चौड़ाई = x
⇒ 528 = 2x² + x ⇒ 2x² + x – 528 = 0
D = 4225 ⇒ x = 16 ⇒ चौड़ाई = 16 m, लंबाई = 33 m
Notes क्या होते हैं और क्यों आवश्यक होते हैं?
कई छात्रों के मन में यह सवाल आता है कि आखिर किसी विषय का Notes क्या होता है? चलिए इसे सरल शब्दों में समझते हैं।
Notes किसी भी विषय का संक्षिप्त और आसान सारांश होते हैं — यानी ऐसे पन्ने या कॉपी जिनमें किसी अध्याय की मुख्य बातें, महत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण और अवधारणाएँ छोटे-छोटे बिंदुओं में लिखी जाती हैं। Notes की आवश्यकता यह होती है कि छात्र कम समय में पूरे विषय को दोहरा सकें और कठिन टॉपिक को आसानी से समझ सकें।
अनेक शिक्षकों के अनुसार, Notes एक ऐसा संक्षिप्त लेखन होता है जो पढ़ाई और परीक्षा दोनों के लिए सहायक होता है। अच्छे Notes की मदद से छात्रों को बार-बार पूरी किताब पढ़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती क्योंकि इनमें वही बातें शामिल होती हैं जो परीक्षा की दृष्टि से सबसे ज़्यादा जरूरी होती हैं।
जब छात्र स्वयं Notes तैयार करते हैं, तो वे केवल याद नहीं कर रहे होते बल्कि विषय को गहराई से समझ रहे होते हैं। इस प्रक्रिया से ज्ञान लंबे समय तक याद रहता है और आत्मविश्वास भी बढ़ता है।
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| क्र. सं. | अध्याय का नाम |
|---|---|
| 1 | वास्तविक संख्याएँ |
| 2 | बहुपद |
| 3 | दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म |
| 5 | समांतर श्रेढ़ियाँ |
| 6 | त्रिभुज |
| 7 | निर्देशांक ज्यामिति |
| 8 | त्रिकोणमिति का परिचय |
| 9 | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग |
| 10 | वृत्त |
| 11 | रचनाएँ |
| 12 | वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल |
| 13 | पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन |
| 14 | सांख्यिकी |
| 15 | प्रायिकता |
Bihar Board Class 10 का हमारे Notes कैसे तैयार किए गए हैं?
- हमारे द्वारा तैयार किए गए सभी विषयों के नोट्स Bihar Board मैट्रिक के नवीनतम सिलेबस पर आधारित है।
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सारांश (Conclusion)
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