Bihar Board 10th Maths Ex-7 Ultimate Notes pdf | फ्री डाउनलोड करें और टॉप करें!
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Bihar Board 10th Maths Ex-7 Ultimate Note : निर्देशांक ज्यामिति
परिचय (Introduction)
गणित की वह शाखा जिसमें ज्यामिति की समस्याओं को बीजगणित (Algebra) के तरीकों से हल किया जाता है, उसे
निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) कहते हैं। यह हमें समतल में बिंदुओं की स्थिति का पता लगाने और
ज्यामितीय आकृतियों जैसे रेखाओं, त्रिभुजों और वृत्तों का अध्ययन करने में मदद करती है।
निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और ग्राफिक्स जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।
इस अध्याय में, हम दूरी सूत्र (Distance Formula), विभाजन सूत्र (Section Formula)
और त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle) जैसी महत्वपूर्ण अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे।
1. कार्तीय निर्देशांक प्रणाली (Cartesian Coordinate System)
एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए हमें दो लंबवत रेखाओं की आवश्यकता होती है। ये अक्ष मिलकर कार्तीय निर्देशांक प्रणाली बनाते हैं।
- x-अक्ष (x-axis): यह क्षैतिज रेखा होती है। इसे भुज (Abscissa) अक्ष भी कहते हैं।
- y-अक्ष (y-axis): यह ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। इसे कोटि (Ordinate) अक्ष भी कहते हैं।
- मूल बिंदु (Origin): वह बिंदु जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं। इसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
- चतुर्थांश (Quadrants): x-अक्ष और y-अक्ष समतल को चार भागों में बाँटते हैं।
प्रथम चतुर्थांश (I): (+, +)
द्वितीय चतुर्थांश (II): (-, +)
तृतीय चतुर्थांश (III): (-, -)
चतुर्थ चतुर्थांश (IV): (+, -)
- x-निर्देशांक (भुज): y-अक्ष से दूरी
- y-निर्देशांक (कोटि): x-अक्ष से दूरी
2. दूरी सूत्र (Distance Formula)
दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
PQ = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
दूरी = √[(4 – 2)² + (1 – 3)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2 इकाई।
3. विभाजन सूत्र (Section Formula)
यदि बिंदु P(x, y) दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक होंगे:
P(x, y) = [(m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)]
मध्यबिंदु सूत्र (Mid-point Formula):
यदि बिंदु P रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है, तो m₁ = m₂ = 1 होगा।
P(x, y) = [(x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2]
बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 3:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
परिणाम: (7, 3)
4. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)
यदि एक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) हैं, तो क्षेत्रफल का सूत्र है:
Area = ½ |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
यदि परिणाम 0 हो, तो बिंदु संरेख (Collinear) हैं।
बिंदुओं (1, -1), (-4, 6) और (-3, -5) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई।
अतिरिक्त महत्वपूर्ण बिंदु (Additional Important Points)
- x-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (x, 0) के रूप में होते हैं।
- y-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (0, y) के रूप में होते हैं।
- मूल बिंदु से किसी बिंदु (x, y) की दूरी = √(x² + y²)
✨ निष्कर्ष: निर्देशांक ज्यामिति हमें समतल में बिंदुओं की स्थिति, दूरी और क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को बीजगणितीय तरीकों से हल करने की क्षमता प्रदान करती है। निरंतर अभ्यास से आप इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त कर सकते हैं।
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| क्र. सं. | अध्याय का नाम |
|---|---|
| 1 | वास्तविक संख्याएँ |
| 2 | बहुपद |
| 3 | दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म |
| 4 | द्विघात समीकरण |
| 5 | समांतर श्रेढ़ियाँ |
| 6 | त्रिभुज |
| 8 | त्रिकोणमिति का परिचय |
| 9 | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग |
| 10 | वृत्त |
| 11 | रचनाएँ |
| 12 | वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल |
| 13 | पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन |
| 14 | सांख्यिकी |
| 15 | प्रायिकता |
Notes क्या होते हैं और क्यों आवश्यक होते हैं?
कई छात्रों के मन में यह सवाल आता है कि आखिर किसी विषय का Notes क्या होता है? चलिए इसे सरल शब्दों में समझते हैं।
Notes किसी भी विषय का संक्षिप्त और आसान सारांश होते हैं — यानी ऐसे पन्ने या कॉपी जिनमें किसी अध्याय की मुख्य बातें, महत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण और अवधारणाएँ छोटे-छोटे बिंदुओं में लिखी जाती हैं। Notes की आवश्यकता यह होती है कि छात्र कम समय में पूरे विषय को दोहरा सकें और कठिन टॉपिक को आसानी से समझ सकें।
अनेक शिक्षकों के अनुसार, Notes एक ऐसा संक्षिप्त लेखन होता है जो पढ़ाई और परीक्षा दोनों के लिए सहायक होता है। अच्छे Notes की मदद से छात्रों को बार-बार पूरी किताब पढ़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती क्योंकि इनमें वही बातें शामिल होती हैं जो परीक्षा की दृष्टि से सबसे ज़्यादा जरूरी होती हैं।
जब छात्र स्वयं Notes तैयार करते हैं, तो वे केवल याद नहीं कर रहे होते बल्कि विषय को गहराई से समझ रहे होते हैं। इस प्रक्रिया से ज्ञान लंबे समय तक याद रहता है और आत्मविश्वास भी बढ़ता है।
Bihar Board Class 10 का हमारे Notes कैसे तैयार किए गए हैं?
- हमारे द्वारा तैयार किए गए सभी विषयों के नोट्स Bihar Board मैट्रिक के नवीनतम सिलेबस पर आधारित है।
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- सभी Concepts को Example के साथ समझाया गया है जिससे सभी छात्र आसानी से समझ पाए।
- प्रत्येक अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर (VVI Questions) और वस्तुनिष्ठ प्रश्न भी शामिल हैं।
- विषयवस्तु को स्पष्ट चित्रों और उदाहरण के साथ समझाया गया गया है।
सारांश (Conclusion)
हम आशा हैं कि हमारे द्वारा तैयार किए गए Bihar Board 10th Maths Ex-7 Ultimate Notes pdf आपके अध्ययन में मददगार सिद्ध होगा। यह Note न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं, बल्कि इस विषय की गहराई से समझ विकसित करने में भी मदद करता हैं। इस Note को सरल भाषा, स्पष्ट व्याख्या, महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर और उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किया गया है ताकि हर छात्र आत्मविश्वास के साथ परीक्षा की तैयारी कर सके।
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