Bihar Board 10th Maths Ex-8 Ultimate Notes pdf | Free Download करें और टॉप करें!
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Bihar Board 10th Maths Ex-8 Ultimate Note : त्रिकोणमिति का परिचय
1. परिचय (Introduction)
गणित की वह शाखा जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन किया जाता है, त्रिकोणमिति (Trigonometry) कहलाती है। ‘त्रिकोणमिति’ शब्द ग्रीक शब्दों ‘त्रि’ (तीन), ‘गोन’ (भुजा) और ‘मेट्रॉन’ (माप) से मिलकर बना है। ऐतिहासिक रूप से, त्रिकोणमिति का उपयोग खगोलविदों द्वारा पृथ्वी से ग्रहों और तारों की दूरियों को मापने के लिए किया जाता था। आज भी इसका उपयोग इंजीनियरिंग, भौतिकी, नौसंचालन (navigation) और अन्य विज्ञानों में व्यापक रूप से होता है। इस अध्याय में, हम मुख्य रूप से समकोण त्रिभुज की भुजाओं और न्यून कोणों (acute angles) के कुछ अनुपातों का अध्ययन करेंगे, जिन्हें त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) कहा जाता है।
2. त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)
एक समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण के सापेक्ष भुजाओं के अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपात कहते हैं। मान लीजिए, एक समकोण त्रिभुज ABC है, जहाँ कोण B = 90°।
- लंब (Perpendicular – P): कोण A के सामने वाली भुजा (BC)
- आधार (Base – B): कोण A से लगी हुई भुजा (AB)
- कर्ण (Hypotenuse – H): समकोण के सामने वाली भुजा (AC)
मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात:
- sin A = लंब / कर्ण = BC / AC
- cos A = आधार / कर्ण = AB / AC
- tan A = लंब / आधार = BC / AB
व्युत्क्रम अनुपात:
- cosec A = कर्ण / लंब = AC / BC = 1/sin A
- sec A = कर्ण / आधार = AC / AB = 1/cos A
- cot A = आधार / लंब = AB / BC = 1/tan A
याद रखने का सूत्र: “लाल कक्का” (LAL-KAKKA)
L – लंब, A – आधार, K – कर्ण
महत्वपूर्ण संबंध:
tan A = sin A / cos A
cot A = cos A / sin A
3. विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात
0°, 30°, 45°, 60°, और 90° के लिए अनुपात निम्न सारणी में दिए गए हैं:
| कोण (A) | sin A | cos A | tan A | cosec A | sec A | cot A |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित | 0 |
ध्यान दें: जैसे-जैसे कोण A बढ़ता है, sin A का मान 0 से 1 तक बढ़ता है जबकि cos A घटता है। tan 90° और cot 0° अपरिभाषित होते हैं।
4. पूरक कोणों के अनुपात
जब दो कोणों का योग 90° होता है, वे पूरक कोण (Complementary Angles) कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोण A + कोण C = 90°, तो:
- sin (90° – A) = cos A
- cos (90° – A) = sin A
- tan (90° – A) = cot A
- cot (90° – A) = tan A
- sec (90° – A) = cosec A
- cosec (90° – A) = sec A
5. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)
सर्वसमिका वह समीकरण होती है जो सभी उपयुक्त मानों के लिए सत्य होती है। त्रिकोणमिति में तीन प्रमुख सर्वसमिकाएँ होती हैं:
- sin²A + cos²A = 1
- 1 + tan²A = sec²A
- 1 + cot²A = cosec²A
6. सारांश और महत्वपूर्ण सूत्र
मुख्य सूत्र:
- sin A = लंब / कर्ण
- cos A = आधार / कर्ण
- tan A = लंब / आधार
- cosec A = 1 / sin A
- sec A = 1 / cos A
- cot A = 1 / tan A
📘 नोट: त्रिकोणमिति कक्षा 10 गणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है, जिससे हर वर्ष 6–8 अंकों के प्रश्न पूछे जाते हैं। नियमित अभ्यास से इसे सरल बनाया जा सकता है।
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| क्र. सं. | अध्याय का नाम |
|---|---|
| 1 | वास्तविक संख्याएँ |
| 2 | बहुपद |
| 3 | दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म |
| 4 | द्विघात समीकरण |
| 5 | समांतर श्रेढ़ियाँ |
| 6 | त्रिभुज |
| 7 | निर्देशांक ज्यामिति |
| 9 | त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग |
| 10 | वृत्त |
| 11 | रचनाएँ |
| 12 | वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल |
| 13 | पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन |
| 14 | सांख्यिकी |
| 15 | प्रायिकता |
Notes क्या होते हैं और क्यों आवश्यक होते हैं?
कई छात्रों के मन में यह सवाल आता है कि आखिर किसी विषय का Notes क्या होता है? चलिए इसे सरल शब्दों में समझते हैं।
Notes किसी भी विषय का संक्षिप्त और आसान सारांश होते हैं — यानी ऐसे पन्ने या कॉपी जिनमें किसी अध्याय की मुख्य बातें, महत्वपूर्ण परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण और अवधारणाएँ छोटे-छोटे बिंदुओं में लिखी जाती हैं। Notes की आवश्यकता यह होती है कि छात्र कम समय में पूरे विषय को दोहरा सकें और कठिन टॉपिक को आसानी से समझ सकें।
अनेक शिक्षकों के अनुसार, Notes एक ऐसा संक्षिप्त लेखन होता है जो पढ़ाई और परीक्षा दोनों के लिए सहायक होता है। अच्छे Notes की मदद से छात्रों को बार-बार पूरी किताब पढ़ने की ज़रूरत नहीं पड़ती क्योंकि इनमें वही बातें शामिल होती हैं जो परीक्षा की दृष्टि से सबसे ज़्यादा जरूरी होती हैं।
जब छात्र स्वयं Notes तैयार करते हैं, तो वे केवल याद नहीं कर रहे होते बल्कि विषय को गहराई से समझ रहे होते हैं। इस प्रक्रिया से ज्ञान लंबे समय तक याद रहता है और आत्मविश्वास भी बढ़ता है।
Bihar Board Class 10 का हमारे Notes कैसे तैयार किए गए हैं?
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- प्रत्येक अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर (VVI Questions) और वस्तुनिष्ठ प्रश्न भी शामिल हैं।
- विषयवस्तु को स्पष्ट चित्रों और उदाहरण के साथ समझाया गया गया है।
सारांश (Conclusion)
हम आशा हैं कि हमारे द्वारा तैयार किए गए Bihar Board 10th Maths Ex-8 Ultimate Notes pdf आपके अध्ययन में मददगार सिद्ध होगा। यह Note न केवल परीक्षा की दृष्टि से उपयोगी हैं, बल्कि इस विषय की गहराई से समझ विकसित करने में भी मदद करता हैं। इस Note को सरल भाषा, स्पष्ट व्याख्या, महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर और उदाहरणों के साथ प्रस्तुत किया गया है ताकि हर छात्र आत्मविश्वास के साथ परीक्षा की तैयारी कर सके।
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